Головоломка «Отравленные стаканы»

Для чего используется техника креативности

Стимулировать работу головного мозга.

План действий

Попробуйте найти решение данной задачи математическим путем.

Математическая головоломка «Отравленные стаканы»

— Все таки математики — любопытный народ, — сказал полицейский своей жене. — Представь себе, дорогая, на кухне отеля на столе стояли в ряд частично наполненные стаканы. Только в одном из них был яд. И нам хотелось узнать, в котором именно, прежде чем мы начнем снимать отпечатки пальцев. Наша лаборатория могла бы проверить жидкость в каждом стакане, однако проверка требует времени и денег, и нам, естественно, хотелось бы сократить число таких проверок до минимума.

Cловом, мы позвонили в университет, и оттуда нам на помощь прислали профессора математики. Он подсчитал стаканы, улыбнулся и сказал: «Возьмите любой стакан, комиссар, который вам понравится. Мы исследуем его первым».

«Но не истратим ли мы впустую одно испытание?» спросил я.

«Не полностью одно — и мне хотелось бы рискнуть, — сказа он. — Это составляет часть оптимальной процедуры. Мы можем сперва исследовать один стакан, неважно, какой именно».

— Сколько стаканов нужно было проверить? — спросила жена комиссара.

— Не помню точно. Что-то между одной и двумя сотнями.

Чему равнялось точное число стаканов?

Предполагается, что мы можем исследовать одновременно содержимое любого числа стаканов, взяв небольшое число жидкости из каждого из них и смешав эти порции вместе.

Как научиться

Ответ на головоломку

Стаканов было 129.

Обычная, наиболее эффективная процедура состоит в том, чтобы исследовать сразу половину стаканов, затем половину стаканов из той группы, где обнаружен яд, затем половину от половины и т.д. до тех пор, пока мы не найдем нужный стакан. Таким образом, степени 2 дают нам первый ключ: для двух стаканов потребуется одна проверка, для трех или четырех — две проверки, для пяти ил шести — три проверки и т.д.

Число 128 — это единственная степень двойки, расположенная между 100 и 200, так что для 129 и большего числа стаканов нам потребуется 8 испытаний. Точнее говоря, нам могло бы потребоваться 8 испытаний, но проверив сначала 1 стакан, мы оставили себе 7 испытаний  для оставшихся 128 стаканов, что дает ту же оценку 8 для максимального числа испытаний.

В действительности в случае первой процедуры математическое ожидание числа испытаний равно 7,0155…, в то время как во втором случае оно равно 7,9457… . Так что прибегая ко второй процедуре мы «растрачиваем» 0,930… испытания («не полностью одно» испытание, как сказал профессор). (Его риск оправдался, ибо именно первый стакан оказался отравленным, что укрепило доверие работников лаборатории к ученому настолько, что во всех дальнейших случаях он мог действовать, как считал нужным)